Версия для печати темы

Автор: Игорь Журкин 23 Sep 2006, 19:30

Гипотеза, сформулированная Пуанкаре в 1904 году, утверждает, что все односвязные трехмерные поверхности в четырехмерном пространстве, гомотопически эквивалентные сфере, гомеоморфны ей. Говоря простыми словами, если трехмерная поверхность кое в чем похожа на сферу, то, если ее расправить, она может стать только сферой и ничем иным.

Поверхность k-связна, если на ней можно провести k-1 замкнутую кривую, которая не делит ее на части. Например, тор – на нем можно провести одну замкнутую кривую, так что тор не перестанет быть тором, это означает, что тор 2-х связная поверхность.

А вот на сфере – какую замкнутую кривую ни проводи – она вырежет на ней дырку, что означает, что сфера – односвязная поверхность. Проще говоря – связность поверхности определяется количеством присутствующих в ней «дырок». В общем случае поверхность односвязна, если на ней любую замкнутую кривую можно непрерывной деформацией стянуть в точку. Интуитивно очевидно, например, что поверхность тора этим свойством не обладает (меридиан или параллель в точку не стягиваются).

Гомеоморфизм - это непрерывное преобразование, деформация, которой можно подвергнуть множество, сохранив при этом его топологические свойства (например, k-связность).
Например, чашку можно без труда преобразовать в тор, но не в сферу, так как в ней есть ручка с дыркой. Два множества, которые можно гомеоморфизмом превратить друг в друга, с топологической точки зрения считаются эквивалентными, если угодно – эти два множества - всего лишь два взгляда на одно и то же.

Собственно говоря, гипотеза в какой-то момент переросла в теорему, поскольку это предположение получило доказательства для разных случаев. Более того, в общем случае теорему Пуанкаре можно сформулировать следующим образом (пускай знатоки меня поправят, если я сказал что-то не то): каждая односвязная n-мерная поверхность гомеоморфна n-мерной сфере.

С обывательской точки зрения можно, видимо, сказать: всякая поверхность без дыр подобна (гомеоморфна) сфере.

Однако эта теория является частным случаем более общего принципа: гипотезы геометризации Тёрстона суть которого состоит в том, что для геометрических объектов можно определить уравнение «плавной эволюции» так, что в ходе этой эволюции (пошаговой?) исходная поверхность будет деформироваться и, в конечном итоге, превратится в сферу.

Для нас это интересно тем, что как бы мы не были извращены изначально, тем не менее, если мы не потеряли изначально задуманный облик, мы всегда имеем возможность достичь совершенства.

Автор: Юрий Отрадин 18 Oct 2006, 09:56

Вот хороший перевод интересной статьи из "Нью Йоркера" (21/08/2006) о решении гипотезы Пуанкаре и спорах об авторстве:

http://vadda.livejournal.com/42798.html – 1-ая часть.

http://vadda.livejournal.com/43157.html

Автор: Наташа Егорова 21 Oct 2006, 00:05

Перевод и в самом деле хороший, но все же это газетная статья, и в ней не всему следует верить.
http://mancunian.livejournal.com/476229.html?thread=5882693#t5882693