Гипотеза, сформулированная Пуанкаре в 1904 году, утверждает, что все односвязные трехмерные поверхности в четырехмерном пространстве, гомотопически эквивалентные сфере, гомеоморфны ей. Говоря простыми словами, если трехмерная поверхность кое в чем похожа на сферу, то, если ее расправить, она может стать только сферой и ничем иным.

 

Поверхность k-связна, если на ней можно провести k-1 замкнутую кривую, которая не делит ее на части. Например, тор – на нем можно провести одну замкнутую кривую, так что тор не перестанет быть тором, это означает, что тор 2-х связная поверхность.

 

А вот на сфере – какую замкнутую кривую ни проводи – она вырежет на ней дырку, что означает, что сфера – односвязная поверхность. Проще говоря – связность поверхности определяется количеством присутствующих в ней «дырок». В общем случае поверхность односвязна, если на ней любую замкнутую кривую можно непрерывной деформацией стянуть в точку. Интуитивно очевидно, например, что поверхность тора этим свойством не обладает (меридиан или параллель в точку не стягиваются).

 

Гомеоморфизм - это непрерывное преобразование, деформация, которой можно подвергнуть множество, сохранив при этом его топологические свойства (например, k-связность).

Например, чашку можно без труда преобразовать в тор, но не в сферу, так как в ней есть ручка с дыркой. Два множества, которые можно гомеоморфизмом превратить друг в друга, с топологической точки зрения считаются эквивалентными, если угодно – эти два множества - всего лишь два взгляда на одно и то же.

 

Собственно говоря, гипотеза в какой-то момент переросла в теорему, поскольку это предположение получило доказательства для разных случаев. Более того, в общем случае теорему Пуанкаре можно сформулировать следующим образом (пускай знатоки меня поправят, если я сказал что-то не то): каждая односвязная n-мерная поверхность гомеоморфна n-мерной сфере.

 

С обывательской точки зрения можно, видимо, сказать: всякая поверхность без дыр подобна (гомеоморфна) сфере.

 

Однако эта теория является частным случаем более общего принципа: гипотезы геометризации Тёрстона суть которого состоит в том, что для геометрических объектов можно определить уравнение «плавной эволюции» так, что в ходе этой эволюции (пошаговой?) исходная поверхность будет деформироваться и, в конечном итоге, превратится в сферу.

 

Для нас это интересно тем, что как бы мы не были извращены изначально, тем не менее, если мы не потеряли изначально задуманный облик, мы всегда имеем возможность достичь совершенства.

Вот хороший перевод интересной статьи из "Нью Йоркера" (21/08/2006) о решении гипотезы Пуанкаре и спорах об авторстве:

 

Многообразная судьба. Легендарная задача и битва за приоритет – 1-ая часть.

 

2-ая часть...

Вот хороший перевод интересной статьи из "Нью Йоркера" (21/08/2006) о решении гипотезы Пуанкаре и спорах об авторстве:

Перевод и в самом деле хороший, но все же это газетная статья, и в ней не всему следует верить.

А это страница мнений профессионалов