Теорема Пуанкаре |
Здравствуйте, гость ( Вход | Регистрация )
Приветствуем Вас на форуме, посвященном Общим вопросам развития сознания –
где можно расширить свои представления о себе и окружающем пространстве,
попытаться осознать и конкретизировать свое реальное положение и состояние,
определить или уточнить направление дальнейшего движения,
попытаться объединить свои представления в единую концептуальную модель,
попытаться проявить собственные не до конца оформленные мысли.
Данное пространство открыто для конструктивного общения
всех стремящихся к осознанному развитию.
Но конструктивным и информационно-насыщенным его могут сделать только сами участники форума.
Помните: под лежачий камень – вода не течет.
Создавшие и поддерживающие это виртуальное пространство
готовы по мере своих сил и возможностей способствовать конструктивному общению.
Мы предупреждаем, что некоторые разделы доступны для просмотра лишь зарегистрированным пользователям.
Теорема Пуанкаре |
23 Sep 2006, 19:30
Сообщение
#1
|
|
Активный участник Группа: Участник Сообщений: 509 Регистрация: 6.3.2005 Из: Санкт-Петербург Пользователь №: 1 Место жительства: Санкт-Петербург |
Гипотеза, сформулированная Пуанкаре в 1904 году, утверждает, что все односвязные трехмерные поверхности в четырехмерном пространстве, гомотопически эквивалентные сфере, гомеоморфны ей. Говоря простыми словами, если трехмерная поверхность кое в чем похожа на сферу, то, если ее расправить, она может стать только сферой и ничем иным.
Поверхность k-связна, если на ней можно провести k-1 замкнутую кривую, которая не делит ее на части. Например, тор – на нем можно провести одну замкнутую кривую, так что тор не перестанет быть тором, это означает, что тор 2-х связная поверхность. А вот на сфере – какую замкнутую кривую ни проводи – она вырежет на ней дырку, что означает, что сфера – односвязная поверхность. Проще говоря – связность поверхности определяется количеством присутствующих в ней «дырок». В общем случае поверхность односвязна, если на ней любую замкнутую кривую можно непрерывной деформацией стянуть в точку. Интуитивно очевидно, например, что поверхность тора этим свойством не обладает (меридиан или параллель в точку не стягиваются). Гомеоморфизм - это непрерывное преобразование, деформация, которой можно подвергнуть множество, сохранив при этом его топологические свойства (например, k-связность). Например, чашку можно без труда преобразовать в тор, но не в сферу, так как в ней есть ручка с дыркой. Два множества, которые можно гомеоморфизмом превратить друг в друга, с топологической точки зрения считаются эквивалентными, если угодно – эти два множества - всего лишь два взгляда на одно и то же. Собственно говоря, гипотеза в какой-то момент переросла в теорему, поскольку это предположение получило доказательства для разных случаев. Более того, в общем случае теорему Пуанкаре можно сформулировать следующим образом (пускай знатоки меня поправят, если я сказал что-то не то): каждая односвязная n-мерная поверхность гомеоморфна n-мерной сфере. С обывательской точки зрения можно, видимо, сказать: всякая поверхность без дыр подобна (гомеоморфна) сфере. Однако эта теория является частным случаем более общего принципа: гипотезы геометризации Тёрстона суть которого состоит в том, что для геометрических объектов можно определить уравнение «плавной эволюции» так, что в ходе этой эволюции (пошаговой?) исходная поверхность будет деформироваться и, в конечном итоге, превратится в сферу. Для нас это интересно тем, что как бы мы не были извращены изначально, тем не менее, если мы не потеряли изначально задуманный облик, мы всегда имеем возможность достичь совершенства. -------------------- С уважением...
|
|
|
18 Oct 2006, 09:56
Сообщение
#2
|
|
Участник Группа: Участники Сообщений: 14 Регистрация: 23.4.2006 Пользователь №: 54 Место жительства: Москва |
Вот хороший перевод интересной статьи из "Нью Йоркера" (21/08/2006) о решении гипотезы Пуанкаре и спорах об авторстве:
Многообразная судьба. Легендарная задача и битва за приоритет – 1-ая часть. 2-ая часть... |
|
|
Текстовая версия | Сейчас: 24th September 2024 - 09:23 |